Angewandte Mathematik

Ein Loch ist im Eimer Carl Friedrich Carl Friedrich

Wie viel Wasser befindet sich in einem Eimer? Natürlich genau so viel, wie in ihn hinein und herausgeflossen ist! Diesem Sachverhalt würde wohl jeder zustimmen, aber es wirklich für alle denkbaren Eimer stichhatltig zu beweisen scheint dann schon schwierig zu sein. Gelungen ist ein solcher mathematischer Beweis Carl Friedrich Gauß. Dieser, als Integralsatz von Gauß bekannte Sachverhalt, ist von zentraler Bedeutung in der Geometrie und findet in vielen Bereichen der Mathematik Anwendung, insbesondere im Gebiet der partiellen Differentialgleichungen (mehr Details).

Äußeres Normalenfeld und Fluss

Betrachten wir dazu einen beliebigen Körper im Raum und bezeichnen diesen mit \Omega. Seine Oberfläche bezeichnen wir mit \partial\Omega. An jedem Punkt der Oberfläche gibt es eine Tangentialebene, also eine Ebene, die die Fläche nur in in genau einem Punkt berührt. An diesem Punkt steht genau ein Vektor Senkrecht auf der Tangentialebene, der nicht in das innere der Fläche zeigt. Diesen nenn wir den äußeren Normalenvekot an einem Punkt (x,y,z) der Oberfläche und bezeichnen ihn mit n(x,y,z) = \begin{pmatrix} n_1((x,y,z)) \\ n_2((x,y,z)) \\ n_3((x,y,z)) \end{pmatrix}wobei n_1, n_2 und n_3 Funktionen sind, die die Koordinaten des Vektors in Abhängigkeit des Punktes beschreiben. Diese definieren also entlang der Oberfläche \partial \Omega des Körpers ein Vektorfeld, welches auch Normalenfeld genannt wird.

Nehmen wir nun an, ein Vektorfeld (mehr Details) durchdringt den Bereich \Omega. Wir möchten zunächst den Anteil berechnen, der von der Oberfläche aus in die Fläche heraus- beziehungsweise hineinzeigt. Er wird auch Fluss des Vektorfeldes entlang der Oberfläche \partial \Omega genannt. Bei einer Strömung würde es der Wassermenge entsprechen, die durch die Oberfläche in den Körper hinein oder hinausfließt. Für ein Vektorfeld V können wir diesen Anteil mit Hilfe des Normalenfeldes n und dem sogenannten Skalarproduktes V \bullet n berechnen. Es misst den Anteil zweier Vektoren, den Sie gemeinsam haben. Vektoren, die senkrecht aufeinander stehen, haben zum Beispiel Skalarprodukt null, zwei gleichlangen Vektoren mit selber Richtung haben Skalarprodukt eins, mit unterschiedlicher Richtung -1 und ansonsten eine Zahl zwichen -1 und 1.

Ein Vektorfeld entlang einer Kugeloberfläche. Quelle: Wikipedia.

Der Integralsatz von Gauß

Der Intgralsatz von Gauß setzt den Fluss in Beziehung zu der Divergenz eines Vektorfeldes (mehr Details). Er besagt, dass der Fluß und die Quellen und senken im Mittel gleich sein müssen, also die Integrale

    \[  \int_{\partial\Omega} V \bullet n \; ds   = \int_\Omega \text{div}(V) \; d\omega \]

gleich sind.

Partielle Integration

Unter Ausnutzung der Rechenregeln für den Laplaceoperator erhält man mit diesem Integralsatz eine Formel, bei der man bei einem Produckt von Funktionen Ableitungen von der einen Funktion auf Ableitungen der anderen umlegen kann. Sie wird partielle Integration genannt und lautet

    \[   \int_\Omega u \cdot \text{div} (V) \; d\omega =  \int_{\partial\Omega} u  \cdot  V \bullet n \; ds -    \int_\Omega \nabla u \bullet V \; d \omega \]