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Ein Loch ist im Eimer oh Carl Friedrich, oh Carl Friedrich

Wie viel Wasser befindet sich in einem Eimer? Natürlich genau so viel, wie in ihn hinein- und herausgeflossen ist! Diesem Sachverhalt würde wohl jeder zustimmen. Diesen Umstand aber wirklich für alle denkbaren Eimer stichhaltig zu beweisen, scheint schon schwieriger zu sein. Gelungen ist ein solcher mathematischer Beweis Carl Friedrich Gauß. Dieser als Integralsatz von Gauß bekannte Sachverhalt ist von zentraler Bedeutung in der Geometrie und findet in vielen Bereichen der Mathematik Anwendung. Insbesondere im Gebiet der partiellen Differentialgleichungen (mehr Details).

Äußeres Normalenfeld und Fluss

Betrachten wir dazu einen beliebigen Körper im Raum und bezeichnen diesen mit \Omega. Seine Oberfläche betiteln wir mit \partial\Omega. An jedem Punkt der Oberfläche gibt es eine Tangentialebene, also eine Ebene, die die Fläche nur in genau einem Punkt berührt. An diesem Punkt steht ein Vektor senkrecht, der nicht in das Innere der Fläche zeigt. Diesen nennen wir den äußeren Normalenvektor an einem Punkt (x,y,z) der Oberfläche und bezeichnen ihn mit n(x,y,z) = \begin{pmatrix} n_1((x,y,z)) \\ n_2((x,y,z)) \\ n_3((x,y,z)) \end{pmatrix}. Dabei sind n_1, n_2 und n_3 Funktionen, die die Koordinaten des Vektors in Abhängigkeit des Punktes beschreiben. Diese definieren somit entlang der Oberfläche \partial \Omega des Körpers ein Vektorfeld, welches auch Normalenfeld genannt wird.

Nehmen wir nun an, ein Vektorfeld (mehr Details) durchdringt den Bereich \Omega. Wir berechnen zunächst den Anteil, der von der Oberfläche aus in die Fläche heraus- beziehungsweise hinein zeigt. Er wird auch Fluss des Vektorfeldes entlang der Oberfläche \partial \Omega genannt. Bei einer Strömung würde es der Wassermenge entsprechen, die durch die Oberfläche in den Körper hinein oder hinaus fließt. Für ein Vektorfeld V können wir diesen Anteil mithilfe des Normalenfeldes n und dem sogenannten Skalarprodukt V \bullet n berechnen. Es misst den gemeinsamen Anteil zweier Vektoren. Vektoren, die senkrecht aufeinander stehen, haben zum Beispiel Skalarprodukt null. Zwei gleichlangen Vektoren mit selber Richtung haben Skalarprodukt eins mit unterschiedlicher Richtung -1 und ansonsten eine Zahl zwischen -1 und 1.

Ein Vektorfeld entlang einer Kugeloberfläche. Quelle: Wikipedia.

Der Integralsatz von Gauß

Der Integralsatz von Gauß setzt den Fluss in Beziehung zu der Divergenz eines Vektorfeldes (mehr Details). Er besagt, dass der Fluss als auch die Quellen und Senken im Mittel gleich sein müssen. Die Integrale

    \[  \int_{\partial\Omega} V \bullet n \; ds   = \int_\Omega \text{div}(V) \; d\omega \]

sind somit gleich.

Partielle Integration

Unter Ausnutzung der Rechenregeln für den Laplaceoperator erhalten wir mit diesem Integralsatz eine Formel, bei der bei einem Produkt von Funktionen die Ableitungen der einen Funktion auf die Ableitungen der anderen umlegt werden können. Sie wird partielle Integration genannt und lautet

    \[   \int_\Omega u \cdot \text{div} (V) \; d\omega =  \int_{\partial\Omega} u  \cdot  V \bullet n \; ds -    \int_\Omega \nabla u \bullet V \; d \omega \]