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Angewandte Mathematik

Die Vermessung der Welt

Vorgänge aus Naturwissenschaft, Technik oder Wirtschaft können häufig durch das Lösen sogenannter Differentialgleichungen simuliert werden (mehr Details), auch wenn exakte Lösungen im Allgemeinen nicht bekannt sind. Jedoch ist es mit dem Einsatz von Computern möglich, Lösungen näherungsweise zu berechnen.

Netze, Basisfunktionen und näherungsweise Lösungen

Hierfür unterteilen wir das Gebiet \Omega, auf dem wir die Gleichung lösen wollen, in viele kleine Teilstücke. Eine solche Unterteilung wird auch Netz genannt.

Ein Netz. Quelle: https://gmsh.info/

Im Anschluss können recht einfach Funktionen, sogenannte Basisfunktionen, definiert werden, die jeweils nur auf wenigen zusammenhängenden Teilstücke des Netzes ungleich null sind. Diese Basisfunktionen bezeichnen wir mit \phi_1, \cdots, \phi_n.

Lineare Basisfunktionen. Quelle: https://www.iue.tuwien.ac.at/phd/singulani/disssu12.html

Wir möchten nun eine potentielle Lösung u, die wir noch nicht kennen, mithilfe der Basisfunktionen ausdrücken und damit approximieren. Es werden Zahlen a_i gesucht, sodass u(x) \approx a_1 \phi_1 (x)+ a_2 \phi_2(x) + \cdots + a_n \phi_n(x) näherungsweise durch eine Kombination der Basisfunktionen beschrieben wird.

Beschreibung einer Funktion durch Basisfunktionen. Quelle: https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method

Setzen wir diese Approximation anstatt u in die schwache Formulierung der Differentialgleichung ein (mehr Details), so erhalten wir die Gleichung

    \begin{align*}  - a_1 \int_\Omega \nabla v \cdot \nabla u_1 \; d \omega    - a_2 \int_\Omega \nabla v \cdot \nabla u_2 \; d \omega  - \cdots  - a_n \int_\Omega \nabla v \cdot \nabla u_n \; d \omega  =  \int_\Omega v f  \; d \omega   \end{align*}

für alle Testfunktionen v. Da die Basisfunktionen Testfunktionen sind, muss diese Gleichung auch für alle Basisfunktionen \phi_i gelten und somit erhalten wir n Gleichungen

    \begin{align*}  &- a_1 \int_\Omega \nabla u_1 \cdot \nabla u_1 \; d \omega   - a_2 \int_\Omega \nabla u_1 \cdot \nabla u_2 \; d \omega  - \cdots  - a_n \int_\Omega \nabla u_1 \cdot \nabla u_n \; d \omega  =  \int_\Omega u_1 f  \; d \omega  \\ & - a_1 \int_\Omega \nabla u_2 \cdot \nabla u_1 \; d \omega    - a_2 \int_\Omega \nabla u_2 \cdot \nabla u_2 \; d \omega  - \cdots  - a_n \int_\Omega \nabla u_2 \cdot \nabla u_n \; d \omega  =  \int_\Omega u_2 f  \; d \omega  \\ & \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \vdots \\ &  - a_1 \int_\Omega \nabla u_n \cdot \nabla u_1 \; d \omega    - a_2 \int_\Omega \nabla u_n \cdot \nabla u_2 \; d \omega  - \cdots  - a_n \int_\Omega \nabla u_n \cdot \nabla u_n \; d \omega  =  \int_\Omega u_n f  \; d \omega   \end{align*}

Die Integrale \int_\Omega \nabla u_i \cdot \nabla u_j \; d \omega und \int_\Omega u_i f  \; d \omega für i=1, \cdots , n und j = 1, \cdots , n können mit einem Algorithmus berechnet werden. Anschließend erhalten wir ein lineares Gleichungssystem für die Zahlen a_i. Dieses Gleichungssystem kann ebenfalls mit einem Algorithmus gelöst werden. Mit dieser Vorgehensweise bekommen wir mithilfe eines Computers die Approximation einer schwachen Lösung der Poisson Gleichung.
In analoger Weise können auch kompliziertere Differentialgleichungen mit dem Einsatz von Computern näherungsweise gelöst werden.