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Angewandte Mathematik

Die Vermessung der Welt

Vorgänge aus Naturwissenschaft, Technik oder Wirtschaft können häufig durch das Lösen sogenannter Differentialgleichungen simuliert werden (mehr Details). Im Allgemeinen sind exakte Lösungen nicht bekannt, jedoch ist es mit dem Einsatz von Computern möglich, Lösungen näherungsweise zu berechnen.

Netze, Basisfunktionen und näherungsweise Lösungen

Hierfür unterteilen wir das Gebiet \Omega, auf dem Wir die Gleichung lösen wollen in viele kleine Teilstücke. Eine solche Unterteilung nennt man auch Netz.

Ein Netz. Quelle: https://gmsh.info/

Man kann dann recht einfach Funktionen, sogennante Basisfunktionen, definieren, die jeweils nur auf wenigen zusammenhängenden Teilstückem des Netzes ungleich Null sind. Diese Basisfunktionen bezeichnen wir mit \phi_1, \cdots, \phi_n.

Lineare Basisfunktionen. Quelle: https://www.iue.tuwien.ac.at/phd/singulani/disssu12.html

Wir möchten nun eine potientielle Lösung u, die wir noch nicht kennen, mit Hilfe der Basisfunktionen ausdrücken und damit approximieren. Wir suchen also Zahlen a_i, so dass u(x) \approx a_1 \phi_1 (x)+ a_2 \phi_2(x) + \cdots + a_n \phi_n(x) näherungsweise durch eine Kombination der Basisfunktionen beschrieben wird.

Beschreibung einer Funktion durch Basisfunktionen. Quelle: https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method

Setzen wir diese Approximation anstatt u in die schwache Formulierung der Differentialgleichung ein (mehr Details), so erhalten wir die Gleichung

    \begin{align*}  - a_1 \int_\Omega \nabla v \cdot \nabla u_1 \; d \omega    - a_2 \int_\Omega \nabla v \cdot \nabla u_2 \; d \omega  - \cdots  - a_n \int_\Omega \nabla v \cdot \nabla u_n \; d \omega  =  \int_\Omega v f  \; d \omega   \end{align*}

für alle Testfunktionen v. Da die Basisfunktionen Testfunktionen sind, muss diese Gleichung also auch für alle Basisfunktionen \phi_i gelten und somit erhalten wir n Gleichungen

    \begin{align*}  &- a_1 \int_\Omega \nabla u_1 \cdot \nabla u_1 \; d \omega   - a_2 \int_\Omega \nabla u_1 \cdot \nabla u_2 \; d \omega  - \cdots  - a_n \int_\Omega \nabla u_1 \cdot \nabla u_n \; d \omega  =  \int_\Omega u_1 f  \; d \omega  \\ & - a_1 \int_\Omega \nabla u_2 \cdot \nabla u_1 \; d \omega    - a_2 \int_\Omega \nabla u_2 \cdot \nabla u_2 \; d \omega  - \cdots  - a_n \int_\Omega \nabla u_2 \cdot \nabla u_n \; d \omega  =  \int_\Omega u_2 f  \; d \omega  \\ & \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \vdots \\ &  - a_1 \int_\Omega \nabla u_n \cdot \nabla u_1 \; d \omega    - a_2 \int_\Omega \nabla u_n \cdot \nabla u_2 \; d \omega  - \cdots  - a_n \int_\Omega \nabla u_n \cdot \nabla u_n \; d \omega  =  \int_\Omega u_n f  \; d \omega   \end{align*}

Die Integrale \int_\Omega \nabla u_i \cdot \nabla u_j \; d \omega und \int_\Omega u_i f  \; d \omega für i=1, \cdots , n und j = 1, \cdots , n kann man mit einem Algorithmus berechnen und man erhält dann ein lineares Gleichungssystem für die Zahlen a_i. Dieses Gleichungssystem kann man ebenfalls mit einem Algorithmus lösen und so erhält man also die Approximation einer schwache Lösung der Poisson Gleichung mit Hilfe eines Computers.
In analoger Weise kann man auch kompliziertere Differentialgleichungen mit dem Einsatz von Computern näherungsweise lösen.