Vorgänge aus Naturwissenschaft, Technik oder Wirtschaft können häufig durch das Lösen sogenannter Differentialgleichungen simuliert werden (mehr Details). Auch wenn exakte Lösungen im Allgemeinen nicht bekannt sind, ist es mit dem Einsatz von Computern möglich, Lösungen näherungsweise zu berechnen.
Netze, Basisfunktionen und näherungsweise Lösungen
Hierfür unterteilen wir das Gebiet , auf dem wir die Gleichung lösen wollen, in viele kleine Teilstücke. Eine solche Unterteilung wird auch Netz genannt.

Im Anschluss können recht einfach Funktionen, sogenannte Basisfunktionen, definiert werden, die jeweils nur auf wenigen zusammenhängenden Teilstücke des Netzes ungleich null sind. Diese Basisfunktionen bezeichnen wir mit .

Wir möchten nun eine potentielle Lösung , die wir noch nicht kennen, mithilfe der Basisfunktionen ausdrücken und damit approximieren. Es werden Zahlen
gesucht, sodass
näherungsweise durch eine Kombination der Basisfunktionen beschrieben wird.

Setzen wir diese Approximation anstatt in die schwache Formulierung der Differentialgleichung ein (mehr Details), so erhalten wir die Gleichung
für alle Testfunktionen . Da die Basisfunktionen Testfunktionen sind, muss diese Gleichung auch für alle Basisfunktionen
gelten und somit erhalten wir
Gleichungen
Die Integrale und
für
und
können mit einem Algorithmus berechnet werden. Anschließend erhalten wir ein lineares Gleichungssystem für die Zahlen
. Dieses Gleichungssystem kann ebenfalls mit einem Algorithmus gelöst werden. Mit dieser Vorgehensweise bekommen wir mithilfe eines Computers die Approximation einer schwachen Lösung der Poisson Gleichung.
In analoger Weise können auch kompliziertere Differentialgleichungen mit dem Einsatz von Computern näherungsweise gelöst werden.