Angewandte Mathematik

Die Sprache der Natur

Viele Phänomene in der Natur können durch sogenannte partielle Differentialgleichungen beschrieben werden. Das sind Gleichungen, bei denen Funktionen und deren Ableitungen, also die Änderungsrate der Funktion bezüglich einer Eingabegröße, in Beziehung gesetzt werden. An eine noch unbekannte Funktion werden also Bedingungen gestellt, die sie charakterisieren und eine Funktion wird Lösung genannt, wenn sie diese erfüllt. Man kann quasi seinen Traumpartner bereits sehr gut beschreiben, man muss ihn jedoch noch finden. Dies wirft natürlich die Frage auf, ob es ihn überhaupt gibt und falls er nicht einzigartig sein sollte, inwiefern sich mögliche Kandidaten unterscheiden. Diese Frage nach der Lösbarkeit und der Eindeutigkeit ist im Allgemeinen sehr schwer zu beantworten und beschäftigt bereits bei einfachen Gleichungen Generationen von Mathematikern. In der Praxis können daher Lösungen nur angenähert werden und oft weiss man nicht, ob diese dann die einzige Mögliche ist. Durch Messungen innerhalb von Experimenten und Ausnutzung physikalischer Gesetze lassen sich relativ generisch partielle Differentialgleichungen für real existierende Systeme aus dem Bereich Naturwissenschaft, Technik und Wirtschaft aufstellen. Die Lösung solcher Gleichungen bestimmen dann unter Angabe der Rahmenbedingungen (Auch Rand und Anfangswerte genannt) den Zustand eines Systems zu beliebigen Zeitpunkten vollständig und dieser kann damit näherungsweise mathematisch berechnet und somit simuliert werden.

Der Laplace Operator

Zu einer Funktion u erhalten wir das Gradientenfeld und von diesem können wir die Divergenz berechnen (mehr Details). Diese Hintereinanderausführung bezeichnet man auch als den Laplaceoperator und er ist somit definiert duch

    \[ \Delta u (x,y,z) := \text{div} (\nabla u (x,y,z)) \]

und wird konkret nach einsetzen der entprechenden Formeln durch die Summe der zweiten Ableitungen \Delta u =  \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial x} v_1(x,y,z) +  \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial}{\partial y} v_2(x,y,z) + \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial}{\partial z} v_3(x,y,z) berechnet.

Poisson Gleichung

Man kann sich nun die Frage stellen, ob man innerhalb eines beliebigen Bereiches \Omega Quellen und Senken vorgeben und dann eine Funktion finden kann, die diese Vorgaben erfüllt. Ob wir also zu einer vorgegebene Funktion f eine Funktion u finden, die \Delta u(x,y,z) = f(x,y,z) innerhalb des Bereiches \Omega erfüllt. Die Antwort auf diese Frage lautet, dass es immer eine Lösung gibt, diese jedoch nicht eindeutig ist. Die Lösung wird jedoch eindeutig, wenn man sogenannte Randbedingungen hinzufügt. Wie der Name bereits andeutet, werden hierbei Werte auf dem Rand \partial \Omega des Bereiches \Omega Werte vorgegeben. Hier gibt es verschiedene Möglichkeiten. Zum Beipiel kann man für Punkte (x,y,z) auf dem Rand \partial \Omega Werte u(x,y,z) = g direkt durch ein Funktion g vorgegeben. Diese werden Dirichlet Randbedingungen genannt. Man könnte aber auch den Fluss des Gradientenfeld in das Gebiet vorgeben (mehr Details). Solche Randbedingungen nennt man Neumann’sche Randbedingungen. Wir haben soeben eine der bekanntesten Differnetialgleichungen der Naturwissenschaft, die sogenannte Poisson-Gleichung, aufgestellt und deren Lösungen diskutiert.

Lösung der Poisson-Gleicbung auf einem Quadrat

Diffusion

Die meißten in den Naturwissenschaften vorkommenden Differentialgleichungen setzen sich aus einzelnen Termen zusammen und fast immer ist der Laplaceoperator einer von diesen. Zum Beispiel erhält man durch hinzufügen einer zeitlichen Bedingung zum negativen Laplaceoprator die sogenannte Diffusionsgleichung

    \[   -\Delta u(x,y,z,t)  = \frac{\partial }{\partial t} u(x,y,z,t) \]

wobei die Funktion u nun zusätzlich auch von der Zeit t abhängt. Die Änderung der Funktion bezüglich der Zeit auf der Rechten Seite entspricht der negativen Räumlichen Divergenz. Das heisst, dass die Unterschiede zwischen Quellen und Senken über die Zeit ausgeglichen werden und somit über die Zeit ein Funktion die Gleichung löst, dessen Gradientenfeld zunehmend divergenzfrei wird.

Dreiecksnetz

Die Diffusionsgleichung ist selbst wieder Bestandteil weiterer Differentialgleichungen. Sie ist überall anzutreffen, wo Ausgleichsprozesse stattfinden, zum Beispiel bei der Wärmeleitung, Elegektromagnetismus, Ströhmungen von Flüssigkeiten und vieles Mehr.

Schwache Formulierung von partiellen Differentialgleichungen

Testfunktionen

In der Realität kann man Phänomene nur durch Messungen beobachten. Eine Messung ist immer ein Vorgang, der eine gewisse räumliche und zeitliche Ausdehnung hat, da man keine unendlich kleinen Sensoren und keine beliebig genaue Schaltungen bauen kann. Man misst also nie genau an einem Punkt zu exakt einer Zeit, sondern der Messvorgang mittelt über einen Bereich und einen kleinen Zeitraum. Mathematisch könnte man solch einen Messvorgang mit Hilfe einer Multiplikation und anschliessenden Integration mit einer Funktion modellieren, die nur kurzzeitig von Null verschiedene Werte hat. Eine solche nenn man auch Testfunktion. Zusätzlich fordert man, dass die Tesfunktionen auf dem Rand \partial \Omega null ist.

Eine Testfunktion. Quelle: Wikipedia.

Messvorgänge für die Poissongleichung \Delta u = f entsprechen der Multiplikation mit einer beliebigen Tesfunktion v und anschliessender Integration \int_\Omega v \Delta u = \int_\Omega v f \; d \omega. Mit der partiellen Integration erhalten wir

    \[   \int_\Omega v \Delta u \; d\omega =  \int_{\partial\Omega} v   \nabla u \cdot n \; ds -    \int_\Omega \nabla v \cdot \nabla u \; d \omega \]

und da v auf dem Rand \partial \Omega null ist, ist der Term \int_{\partial\Omega} v   \nabla u \cdot n \; ds = 0 und damit

    \[   \int_\Omega v \Delta u \; d\omega =  -    \int_\Omega \nabla v \cdot \nabla u \; d \omega \; . \]

Die umgeformte Gleichung

    \[  - \int_\Omega \nabla v \cdot \nabla u \; d \omega  =  \int_\Omega v f  \; d \omega   \; . \]

wird schwache Formulierung der Differentialgleichung und eine Funktion u, die diese Bedingungen für alle Testfunktionen v erfüllt, schwache Lösung der Differentialgleichung genannt.
Eine Lösung der Differentialgleichung ist natürlich auch eine schwache Lösung, da bei den Umformungsschritten die Gleichung erhalten bleibt. Umgekehrt gilt dies nicht unbedingt. Eine schwache Lösung kann prinzipiell von einer klassischen Lösung auf relativ kleinen Teilbereichen, die man sozusagen nicht messen kann, abweichen.