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Angewandte Mathematik

Die Sprache der Natur

Viele Phänomene in der Natur können durch sogenannte partielle Differentialgleichungen beschrieben werden. Das sind Gleichungen, bei denen Funktionen und deren Ableitungen, also die Änderungsrate der Funktion bezüglich einer Eingabegröße, in Beziehung gesetzt werden. An eine noch unbekannte Funktion werden Bedingungen gestellt, die sie charakterisieren und wenn sie diese erfüllt, wird sie Lösung genannt.

Den Traumpartner mithilfe von Differentialgleichungen finden

Wir können unseren Traumpartner bereits sehr gut beschreiben, jedoch müssen wir ihn noch finden. Dies wirft natürlich die Frage auf, ob es ihn überhaupt gibt und falls er nicht einzigartig sein sollte, inwiefern sich mögliche Kandidaten unterscheiden. Diese Frage nach der Lösbarkeit und der Eindeutigkeit ist im Allgemeinen sehr schwer zu beantworten und beschäftigt bereits Generationen von Mathematikern. In der Praxis können Lösungen daher nur angenähert werden und oft ist nicht bekannt, ob diese dann die einzig Möglichen sind. Durch Messungen innerhalb von Experimenten und der Ausnutzung der physikalischer Gesetze lassen sich relativ generisch partielle Differentialgleichungen für real existierende Systeme aus dem Bereich Naturwissenschaft, Technik und Wirtschaft aufstellen. Die Lösung solcher Gleichungen bestimmen anschließend unter Angabe der Rahmenbedingungen (auch Rand und Anfangswerte genannt) den Zustand eines Systems zu beliebigen Zeitpunkten vollständig. Dieser kann damit näherungsweise mathematisch berechnet und somit simuliert werden.

Der Laplace Operator

Zu einer Funktion u erhalten wir das Gradientenfeld und können dadurch die Divergenz berechnen (mehr Details). Diese Hintereinanderausführung bezeichnet man auch als den Laplaceoperator. Er ist definiert durch

    \[ \Delta u (x,y,z) := \text{div} (\nabla u (x,y,z)) \]

und wird konkret nach dem Einsetzen der entsprechenden Formeln durch die Summe der zweiten Ableitungen \Delta u =  \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial x} v_1(x,y,z) +  \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial}{\partial y} v_2(x,y,z) + \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial}{\partial z} v_3(x,y,z) berechnet.

Poisson Gleichung

Es kann sich nun die Frage gestellt werden, ob innerhalb eines beliebigen Bereiches \Omega Quellen und Senken vorgeben sind und ob eine Funktion gefunden werden kann, die diese Vorgaben erfüllt. Ob wir also zu einer vorgegebenen Funktion f eine Funktion u finden, die \Delta u(x,y,z) = f(x,y,z) innerhalb des Bereiches \Omega erfüllt. Die Antwort auf diese Frage lautet, dass es immer eine Lösung gibt, die allerdings nicht eindeutig ist. Sie wird es jedoch, wenn sogenannte Randbedingungen hinzugefügt werden. Wie der Name bereits andeutet, werden hierbei Werte auf dem Rand \partial \Omega des Bereiches \Omega vorgegeben. Dabei gibt es verschiedene Möglichkeiten. Zum Beispiel können für die Punkte (x,y,z) auf dem Rand \partial \Omega Werte u(x,y,z) = g direkt durch eine Funktion g vorgegeben werden. Diese werden Dirichlet Randbedingungen genannt. Es könnte aber auch den Fluss des Gradientenfelds in dem Gebiet vorgeben (mehr Details) werden. Solche Randbedingungen werden Neumann’sche Randbedingungen genannt. Wir haben soeben eine der bekanntesten Differnetialgleichungen der Naturwissenschaft, die sogenannte Poisson-Gleichung, aufgestellt und deren Lösungen diskutiert.

Lösung der Poisson-Gleicbung auf einem Quadrat

Diffusion

Die meisten in den Naturwissenschaften vorkommenden Differentialgleichungen setzen sich aus einzelnen Termen zusammen – und fast immer ist der Laplaceoperator einer von diesen. Zum Beispiel kann durch hinzufügen einer zeitlichen Bedingung zum negativen Laplaceoprator die sogenannte Diffusionsgleichung erhalten werden.

    \[   -\Delta u(x,y,z,t)  = \frac{\partial }{\partial t} u(x,y,z,t) \]

Dabei hängt die Funktion u nun zusätzlich auch von der Zeit t ab. Die Änderung der Funktion bezüglich der Zeit auf der rechten Seite entspricht der negativen räumlichen Divergenz. Das wiederum bedeutet, dass die Unterschiede zwischen Quellen und Senken über die Zeit ausgeglichen werden. Somit wird eine Funktion die Gleichung lösen, deren Gradientenfeld zunehmend divergenzfrei wird.

Dreiecksnetz

Die Diffusionsgleichung ist selbst wieder Bestandteil weiterer Differentialgleichungen. Sie ist überall anzutreffen, wo Ausgleichsprozesse stattfinden. Zum Beispiel bei der Wärmeleitung, dem Elektromagnetismus, den Strömungen von Flüssigkeiten und vielem mehr.

Schwache Formulierung von partiellen Differentialgleichungen

Testfunktionen

In der Realität können Phänomene nur durch Messungen beobachtet werden. Eine Messung ist immer ein Vorgang, der eine gewisse räumliche und zeitliche Ausdehnung hat, da keine unendlich kleinen Sensoren und keine beliebig genauen Schaltungen gebaut werden können. Es wird also nie genau an einem Punkt zu exakt einer Zeit gemessen. Der Messvorgang ermittelt somit über einen Bereich und einen kleinen Zeitraum seine Ergebnisse. Mathematisch könnten wir solch einen Vorgang mithilfe einer Multiplikation und anschließenden Integration einer Funktion modellieren, die nur kurzzeitig vor null verschiedene Werte hat. Eine solche Funktion wird auch Testfunktion genannt. Zusätzlich wird eingefordert, dass die Testfunktionen auf dem Rand \partial \Omega null ist.

Eine Testfunktion. Quelle: Wikipedia.

Messvorgänge für die Poissongleichung \Delta u = f entsprechen der Multiplikation mit einer beliebigen Testfunktion v und anschließender Integration \int_\Omega v \Delta u = \int_\Omega v f \; d \omega. Mit der partiellen Integration erhalten wir

    \[   \int_\Omega v \Delta u \; d\omega =  \int_{\partial\Omega} v   \nabla u \cdot n \; ds -    \int_\Omega \nabla v \cdot \nabla u \; d \omega \]

und da v auf dem Rand \partial \Omega null ist, ist der Term \int_{\partial\Omega} v   \nabla u \cdot n \; ds = 0 und damit

    \[   \int_\Omega v \Delta u \; d\omega =  -    \int_\Omega \nabla v \cdot \nabla u \; d \omega \; . \]

Die umgeformte Gleichung

    \[  - \int_\Omega \nabla v \cdot \nabla u \; d \omega  =  \int_\Omega v f  \; d \omega   \; . \]

wird schwache Lösung der Differentialgleichung genannt, da es sich um eine Funktion u handelt, die diese Bedingungen für alle Testfunktionen v erfüllt.
Eine schwache Lösung der Differentialgleichung ist auch eine Lösung, da bei den Umformungsschritten die Gleichung erhalten bleibt. Umgekehrt gilt dies nicht unbedingt. Eine schwache Lösung kann prinzipiell von einer klassischen Lösung auf relativ kleine Teilbereiche, die man sozusagen nicht messen kann, abweichen.