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Wegweisende Symbole

Zahlreiche natürliche Erscheinungen wie Wind, Flüssigkeiten oder Elektromagnetismus können durch ein sogenanntes Vektorfeld beschreiben werden. Ein solches Feld ordnet jedem Punkt im Raum eine gerichtete Größe – einen Vektor zu. Wir können ein Vektorfeld also als eine Abbildung V((x,y,z)) := \begin{pmatrix} v_1((x,y,z)) \\ v_2((x,y,z)) \\ v_3((x,y,z)) \end{pmatrix} auffassen, wobei v_1, v_2 und v_3 Funktionen sind, die die Koordinaten des Vektors in Abhängigkeit des Punktes beschreiben.

Zum Beispiel kann ein Vektor durch seine Richtung die Windrichtung als auch durch seine Länge die Windstärke an beliebigen Orten beschreiben. Dieses Vektorfeld der Luftströmung begegnet uns somit täglich im Wetterbericht. Verstreut man Eisenspäne um einen Magneten herum, so kann das Vektorfeld des magnetischen Feldes bestaunt werden, und im größeren Maßstab kann mit einem Kompass das Vektorfeld des Erdmagnetfeldes verfolgt werden. In Science-Fiction Geschichten hat man mit Sicherheit schon mal etwas über das Gravitationsfeld eines schwarzen Loches erfahren.

Divergenz des Vektorfeldes

Bei einem Vektorfeld V((x,y,z)) := \begin{pmatrix} v_1((x,y,z)) \\ v_2((x,y,z)) \\ v_3((x,y,z)) \end{pmatrix} kann an einem beliebigen Punkt seine Änderungsraten \frac{\partial}{\partial x} v_1(x,y,z),  \frac{\partial}{\partial y} v_2(x,y,z) und \frac{\partial}{\partial z} v_3(x,y,z) bezüglich der Raumrichtungen x, y oder z betrachtet werden. Die Summe dieser Ableitungen bezeichnet man als Divergenz des Vektorfeldes

    \[ \text{div}(V(x,y,z)):= \frac{\partial}{\partial x} v_1(x,y,z) +  \frac{\partial}{\partial y} v_2(x,y,z) + \frac{\partial}{\partial z} v_3(x,y,z) . \]

Es misst die Bilanz der Änderungsraten des Feldes und beschreibt, ob das Feld an einem Ort entspringt oder versiegt. Punkte mit positiver Divergenz werden als Quellen und Punkte mit negativer Divergenz Senken bezeichnet. Ein Feld, bei dem an jedem Punkt die Divergenz null ist, also von jedem Punkt immer genau so viele Pfeile ein wie ausgehen, nennt man divergenzfrei.

Quelle: Wikipedia

Das Strömungsfeld des Windes wäre zum Beispiel divergenzfrei und ein elektrisches Feld hat seine Quellen am Plus- und Senken am Minuspol.

Gradientenfelder

Eine besondere Art von Vektorfeldern kann aus Funktion u gewonnen werden, die jedem Punkt (x,y,z) eine Zahl u(x,y,z) zuordnen. Hierfür betrachtet man die Ableitungen der Funktion in die Raumrichtungen x,y und z und verwendet sie als Koordinaten eines Vektors. Man erhält somit den sogenannten Gradienten

    \[ \nabla u (x,y,z):= \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} u(x,y,z) \\  \frac{\partial}{\partial y} u(x,y,z) \\  \frac{\partial}{\partial z} u(x,y,z) \end{pmatrix} . \]

Einer seiner wichtigsten Eigenschaften ist, dass er immer in die Richtung der stärksten Änderung der Funktion zeigt. Das zugehörige Vektorfeld, welches dem Gradienten einen Punkt der Funktion zuordnet, wird Gradientenfeld genannt.