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Angewandte Mathematik

Die Hitze im Griff

Schönes Wetter – Grillparty im Garten. Professionell wenden Sie ihr zischendes Grillgut mit ihrer metallenden Designer-Grillzange. Warum wird diese eigentlich nicht heiß, sie ist doch aus Metall und Metall leitet doch bekanntlich sehr gut die Wärme? Gehen wir den Dingen auf den Grund.

Mathematisch wird die Hitzeausbreitung in Stoffen durch eine Differentialgleichung, der sogenannten Wärmeleitungsgleichung, beschrieben (mehr Details). Ein wesentlicher Parameter dieser Gleichung ist die Temperaturleitfähigkeit. Diese ist eine Materialeigenschaft, die zur Beschreibung der zeitlichen Veränderung der räumlichen Verteilung der Temperatur dient.

Quelle: Wikipedia

Wir nehmen an, dass unsere Zange aus Stahl besteht und vergleichen Stahl und Edelstahl (Cr-Ni-Stahl). Als Anfangstemperatur der Zange nehmen wir 25 C° und die linken Seite erhitzen wir 5 Sekunden durchgehend mit einer Temperatur von 150 C°. Dies entspricht dem Szenario, dass die Grillzange zuerst unbenutzt herumliegt und daher Aussentemperatur besitzt und anschliessend damit Grillgut mit einer Temperatur von 150 C° gewendet wird.

Die Hitzeausbreitung innerhalb der Zange ist im wesentlichen Abhängig von der Ausbreitung innerhalb eines Griffes. Ein Griff lässt sich idealisiert als einen geraden Stab auffassen und aus Symmetriegründen reicht es, einen Schnitt durch diesen zu betrachten. Für eine adequate Simulation reicht es also, die Wärmeleitungsgleichung auf einem solchen zweidimensionalen Schnitt zu lösen. Hierfür wird das Problem mit Hilfe eines Dreicksnetz dargestellt und dadurch kann eine Lösung näherungsweise berechnet werden (mehr Details).

Die Lösung der Differentialgleichung

Dreiecksnetz

Die Animation zeigt die Lösungen für Stahl und Edelstahl. Wir sehen also, dass die Art des Stahls einen wesentlichen Einfluss auf die Temperatur des Griffendes hat. Es ist also ratsam, Edelstahl-Grillzangen zu verwenden.